차등 중력 - 차등 중력이 발생하는 이유

대학교 4학년 때 친한 후배가 나에게 기조력에 대해 물어왔다.그 후배는 달에 의한 인력으로 지구의 한 쪽이 잡아당겨지면서 늘어나는 것은 알겠는데, 달과 정 반대편 방향까지 조석이 발생하는 이유를 잘 모르겠다고 했다.대부분의 학생들이 아마 그럴 것이다.일반적으로 물체의 ...

1. 달에 의한 만유인력과 차등 중력

두 천체 사이의 거리에 따라 천체의 각 부분에서의 중력을 다르게 받는 현상을 차등 중력이라고 한다.

이때 차등 중력에 의해 물체가 서로 멀어지려고 하는 힘 자체가 기조력이다.

이것이 이해가 되었다면 아래의 그림도 쉽게 이해할 수 있으리라 생각한다. 그림은 천문학 및 천체물리학 서론에서 가져왔다.

지구 반지름은 약 6,400km이므로 각 부분은 달의 중심에 대해 다른 거리를 가지고 있다.

따라서 (A)에서와 같이 지구의 각 부분이 다른 힘으로 가속된다.

하지만 지구의 입자들은 만유 인력에 의해 서로 붙어 있으므로 위의 물체와 같이 서로 실로 연결되어 있다고 생각하면 쉽다.

이를 지구의 입장에서 보았을 때는 (B)와 같은 힘이 작용하는 것 처럼 느껴진다.

(B)의 화살표는 는 (A)에서 각각의 힘 벡터를 지구중심 C에 작용하는 벡터로 빼준 것이다.

이를 차등 중력 가속도(혹은 기조력)라고 부른다.

2. 차등 중력 가속도의 크기

차등 중력 가속도의 크기를 구해보자. 

천문학 및 천체물리학 서론 p94에서 차등 중력의 가속도를 구하고 있다.

내용이 길고 복잡하지만 이를 고등학교 미적분 수준으로 간단하게 정리해보려고 한다.

일단 지구와 달 사이의 원심력은 무시하고 만유인력 공식만을 이용해보자.

두 물체를 지구와 달이라고 한다면, 물체의 질량은 변하지 않으므로 만유인력은 두 물체의 거리에만 비례하게 된다.

차등 중력은 만유인력의 크기 차이이므로, 위의 그래프 처럼 1/x^2 의 반비례 그래프에서 거리에 따른 힘의 차이를 구하면 된다.

위의 그래프의 x축을 두 물체 사이의 거리, y축을 만유인력의 크기라고 한다면 이 그래프에서 차등 중력은 아래와 같이 표현할 수 있다. 

따라서 양변을 거리 r에 대해서 편미분하면 아래와 같은 식을 얻게 된다.

미분을 모르면 그냥 대충 식을 보자.

이와 같은 식을 얻게 되고 여기에서 기호를 조금 보기좋게 바꾸고 설명을 곁들이면 아래와 같이 될 것이다.

3. 차등 중력 가속도 공식의 의미

결국 위의 마지막 식에서 단위 질량을 1kg으로 두고 제거하면 차등 중력 가속도가 된다.

이를 해석해보자.

1) M과 d가 일정하다면? --> 기조력을 받는 천체의 행성의 반지름이 클수록 기조력은 크다.
2) M과 R이 일정하다면? --> 두 천체의 거리가 가까울 수록 기조력이 크다.
3) d와 R이 일정하다면? --> 기조력을 일으키는 천체의 질량이 크면 클수록 기조력이 크다.

- 차등 중력 가속도(기조력)는 두 천체의 거리, 기조력을 받는 천체의 반지름, 기조력을 일으키는 천체의 질량에만 관계가 있다.(차등 중력 가속도의 크기는 기조력을 받는 행성의 질랑과는 무관하다.)

4. 결론 : 기조력이 발생하는 이유

1) 기조력은 왜 발생하는가? --> 차등 중력 때문이다.
2) 차등 중력은 왜 발생 하는가 --> 거리에 따라 만유인력이 다르기 때문이다.
3) 지구 반대편이 부풀어 오르는 이유? --> 지구가 먼저 달에 의해 잡아당겨 지고, 물이 늦게 따라 오는 것이다.
4) 기조력의 크기는 어떠한가? --> 기조력을 일으키는 천체의 질량과 기조력을 받는 천체의 크기에 비례하고 거리의 3승에 반비례 한다.

이번 글에서는 기조력의 크기에 대해 알아보았다.

조금은 어렵지만 계속해서 글을 읽어본다면 많은 도움이 될 것이라 생각한다.

혹시나 다른 주제를 원하거나, 궁금한 것이 있다면 질문 바란다.