恒星的光谱类型与玻尔兹曼 - 塞哈方程

学习恒星的光谱类型时，你可能听说过如下口诀：

Oh Be A Fine Girl Kiss Me

经典的恒星光谱类型记忆法

这是根据恒星的温度分类光谱类型。

通过观察恒星的光谱，首先根据氢巴耳末吸收线的强度按A, B, C的顺序进行分类的人是哈佛天文台的女性天文学家Aunie Jump Cannon。

但是，为什么吸收线的强度会按照这种顺序，而不是与温度成比例排列呢？

这篇文章是为不满足于“简单根据温度分类”的理科生或准备考分的学生准备的。

今天将通过玻尔兹曼方程和塞哈方程来看看为什么恒星的光谱类型只能如此定义。

1. 决定氢巴耳末线强度的因素

氢巴耳末线是由于处于氢n=2能级的氢原子吸收与其跃迁能量对应频率的电磁波而产生的。

例如，当从能级n=2跃迁到n=3时，氢原子仅选择性地吸收具有相应能量的光。

此时，我们将从能级n=2跃迁并吸收所有频率的吸收线称为“巴耳末线”。

影响氢巴耳末吸收线强度的最重要因素是“恒星中处于n=2能级的氢原子的数量”。

处于n=2能级的氢原子越多，巴耳末系的吸收线就越强。

首先从质上考虑这个过程。

虽然高中阶段没有提及，原子的能级可以通过碰撞激发或退激。

这分别称为“碰撞激发”或“碰撞退激”。

氢气的温度越高，氢原子的平均运动速度越快，因此具有更多的动能。

因此，高温气体中通过碰撞有更多具有高能级的原子。

然而，如果温度过高，所有的原子都会电离。

这会削弱巴耳末吸收线的形成。

因此，为了在氢n=2能级形成吸收线，需要“适当的温度”。

1. 通过原子碰撞，可以使能级激发或退激。
2. 高温气体中的原子具有更高的动能，因此会发生碰撞激发。
3. 气体的温度越高，具有高能级的原子越多。（玻尔兹曼方程）
4. 气体温度越高，被电离的原子越多。（塞哈方程）
5. 综合考虑上述3和4的效应，需要考虑“适当的温度”如何选择。（玻尔兹曼-塞哈方程）

现在，我们来公式化地研究这些因素。

2. 玻尔兹曼方程

玻尔兹曼方程描述在气体中，由碰撞激发和自发跃迁决定的激发原子数比例。

温度越高，原子的平均动能越大。

学习了物理2中气体动理论的学生应该知道以下公式。

原子所具有的动能与温度成正比。

因此，高温气体中，由于碰撞激发形成的高能级吸收线会更强。

总结这方面研究的是奥地利物理学家玻尔兹曼（Ludwing Boltzmann）。

玻尔兹曼方程如下：

N = 各个能级的密度
q = 各个能级的简并度
E = 各个能级的能量

我们永远要记住的是不需要背诵所有公式。玻尔兹曼方程只不过是理解天文现象的基础物理知识，并不是目的。更要关注公式的实际意义。

1) 在玻尔兹曼方程中，如果能级E(A)小于E(B)，对数中的括号值总是负数。
2) 因此，温度越高，N(B)/N(A)的比值增加，温度越低，N(B)/N(A)的比值减少。

玻尔兹曼方程提示温度越高，具有高能级的原子数量更多。

然而，温度升高还会导致部分原子处于电离状态。

这可通过塞哈方程来解释。

3. 塞哈方程

高温气体中，由于辐射或碰撞，原子会获得足够的能量以进行电离，而电子密度N(e)越高，重组概率越大。

当电离与重组的比例相等时，就达到了电离平衡，这是由印度物理学家塞哈（Meghnad N. Saha）定量描述的。

塞哈方程如下：

N(i) : 各电离阶段原子的密度
A : 一些原子常数
N(e) : 电子密度
X(i) : 各电离阶段的电离能
k : 玻尔兹曼常数
T : 绝对温度

塞哈方程类似于玻尔兹曼方程，但它与电子密度和温度的3/2次方成正比。

这意味着它更受温度的影响。

比电离能更高的能量可使原子电离，而更高的电子动能则降低重组比率。

为了验证这些描述是否正确，我们表示为函数进行分析。

假设其他数字为常数，根据温度绘制图像可以看出。

因x值的变化而y值呈指数增长，因此在塞哈方程中，电离态的原子/中性态原子的比率随温度指数增长。

温度越高，N(i+1)/N(i)的比例增加。

现在将玻尔兹曼方程与塞哈方程结合，分析氢原子中的巴耳末线。

4. 玻尔兹曼-塞哈方程

根据以下步骤将玻尔兹曼-塞哈方程结合并应用于氢巴耳末线。

1) 塞哈方程 --> 可以知道氢气中中性氢的含量。
2) 玻尔兹曼方程 --> 可以得知中性氢中n=2能级的氢原子数量。
3) 玻尔兹曼-塞哈方程 --> 可以计算出氢气中n=2能级状态的氢原子的比例。
4) 结论：可以根据温度计算出处于n=2能级的氢原子比例，这与巴耳末线的强度有关。

为了求出这一结果，需做出几个假设。

- 大部分中性氢处于基态。
- 氢的电离阶段只有一个。

1) 氢巴耳末线需要计算的是n=2阶段中性氢的比例。

2) 中性氢N(0)和电离氢N(+)总和等于总原子数N。

3) 假设大多数中性氢N(0)处于基态N(1)，则n=2能级下的氢原子N(2)相对于总原子数N可表示为：

4) 这一方程的解可解释为如下：

5) 结论：基于此方程绘制的图形如下：

5. Oh! Be A Fine Girl Kiss Me - 结论

如果温度太低，中性氢很多但尚不足以激发至n=2能级；而温度过高，氢原子被电离，无法形成巴耳末吸收线。

例如O型和B型星相对于A型星温度较高，但氢多被电离；而K型和M型星有大量中性氢，但能量不足以跃迁至n=2能级。

因此，通过玻尔兹曼-塞哈方程得出的强巴耳末线的温度大约为10,000K，拥有这个表面温度的恒星的光谱类型为A型。

因此，最初根据巴耳末线的强度命名为A, B, C顺序的光谱类型被重新排列，并根据温度重新排序。

在深入研究时需要深刻的物理理解，而不是仅仅记住天文学现象。

这种情况下，不要死记硬背，思考公式的意义。这样会更容易接近目标。