涡度 - 简单理解流体力学

在地球科学中学习西风带波动、西岸强化现象时，涡度（vorticity）是不可或缺的。

当初学习涡度时，完全不明白涡度是什么。

为了希望打算开始气象学、海洋学的学生能更容易理解涡度，我写了这篇文章。

1. 涡度的定义

关于涡度，维基百科是这样写的。

仅仅阅读这些内容，很难理解。

稍微简单点说，可以认为是物体旋转的倾向。

那么，在什么情况下物体会如何旋转呢？让我们通过几个例子来解释。

2. 涡度的定性理解

假设下面图中有两种情况。

(a)是指当地球自转时，在自转的地球上的人，(b)是在旋转的摩天轮中人。

地球和摩天轮都在旋转时，人的旋转成分有什么不同呢？

(a)的情况下，当地球自转时人也会转一圈。

假设如图地球逆时针旋转。

这时人会按照下图移动。

这就称为自转成分（旋转）存在时的旋转流，并可以说流体存在涡度。

在(b)的情况下，摩天轮旋转一圈时，人没有旋转。

光看人时，就是静止不动。

这种情况下没有自转成分时称为非旋转流，可以说流体没有涡度。

因此，可以说涡度是流体内部的旋转成分。

但涡度通常不是用粒子来描述的。

如前述涡度定义所示，涡度用矢量场表示。

为了理解这一点，这次我画了立式洗衣机内部的图。

(a)洗衣机是通过中心洗衣杆旋转来转动衣物，(b)洗衣机是通过外部桶旋转来转动衣物。

用箭头表示了各个桶内的流体流动。

为了判断桶内是否存在涡度或涡度是否不存在，试着将一根棍子放入桶内即可。

在(a)洗衣机的情况下，流体速度从内部到外部减慢。

放入木棒后，由于内部速度快、外部速度慢，木棒绕洗衣杆旋转但不自转。

这种流体称为非旋转流。

因为流体内部没有旋转成分。

在(b)洗衣机的情况下，流体速度从外到内加快。

这时，与(a)不同，放入木棒后，木棒将与洗衣机一起旋转。

这时自转的倾向被称为涡度。

因此，在(b)洗衣机的流体中存在涡度，称为旋转流。

3. 涡度的定量表达

现在用矢量表达涡度。

涡度方向如电流的右手法则。

以轴为基准逆时针方向的涡度为正，顺时针方向的涡度为负。

还用x, y, z轴的旋转进行表示。

但是在定义大气或海水的涡度时，不考虑x轴和y轴方向的涡度，

其原因是由于涡度引起的力的大小与大气的压强相比太小，

与小规模大气运动中不考虑科里奥利力的原因相同。

所以，我们关注的是z轴的涡度，即xy平面的涡度。

首先从z轴来看xy平面的旋转流画出如上。

下图基于z轴正方向的涡度（+）。

今后将用u表示x方向的风速，v表示y方向的风速，w表示z轴方向的风速。

在上图中，x轴值增加时，y轴方向的速度增加，y轴值增加时，x轴方向的速度朝负方向增加。

两值相加就是涡度(ζ, zeta)。

更准确地讲，表示风速(ω, omega)的所有轴方向的旋转(curl)。

在此，大规模的气象学、海洋学中，只考虑垂直分量z的curl，这称为涡度。

4. 涡度的守恒：相对涡度和行星涡度

理解前文后，接下来是更深入探讨涡度的时候。

首先，学生学习的涡度有三种：绝对涡度、相对涡度、行星涡度。

绝对涡度是相对涡度和行星涡度之和，如同一切能量守恒一样，绝对涡度也必需守恒。

相对涡度是指在地球上运动的流体所具有的涡度，而行星涡度是地球自转引起的涡度。

易理解的是气体本身的涡度，即相对涡度，但行星涡度是什么则不易理解。

下图(a)是从北方俯视地球的状态和旋转速度，(b)是赤道区域到极地移动的空气团的位置和坐标系。

从(a)看，地球以地轴为中心圆盘旋转。

赤道附近旋转速度快，极地附近旋转速度慢，地球上的流体具有沿自转轴的涡度。

(b)表示某空气从赤道A经B到极地C移动。

由于地面的变化，空气的坐标系也随地面旋转。此时，空气具有原本不存在的z轴方向的涡度增加。

一切能量需要守恒，所以涡度也需守恒，因此z轴涡度增加越多，空气本身的涡度需减少。

因此相对涡度减少，出现顺时针旋转的倾向。

用公式表示如下。

5. 结论

1) 涡度表示旋转的倾向，大气和海洋中的涡度是z轴有关的涡度。
2) 行星涡度是地球自转引起的轴的旋转，相对涡度是空气本身的涡度。
3) 相对涡度和行星涡度之和称为绝对涡度。因涡度需守恒，绝对涡度是恒定的。
4) 纬度增加时，地表的坐标系也旋转，因此z轴涡度增加。
5) 绝对涡度恒定，所以相对涡度，即空气本身的z轴方向涡度必须减少。

今天基于对涡度的理解，我们从涡度的概念讨论了绝对涡度、相对涡度、行星涡度。

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