大学3年生の時、初めて学んだ伝達方程式と光学的深さの概念が理解できず、内容を長い間考え込んだ記憶がある。
光学的深さについての個人的な考察や天文学および天体物理学の序論、大学時代の天文学のノートを基にこの文章を書いてみる。
今回の記事は光学的深さについて取り上げる。光学的深さが理解できれば、伝達方程式もある程度簡単に理解できる。
1. 恒星の大気と光学的深さ
太陽を見てみると、可視光線で観察できる太陽の表面があるが、それを光球と呼ぶ。
もう少し深く考えてみれば、太陽が周囲とこんなに明確な境界を持っているように見えるのは非常に不思議なことだ。
太陽は大部分が水素とヘリウムの気体でできているので、実際には明確な境界はない。
我々がこのように太陽の境界があるように見える理由は、大気が可視光線に対してある程度「不透明」であるためだ。
例えば、雲を見てみよう。
実際には雲を近くで見ると、周辺と明確な境界を持っていない。
雲が周辺と境界があると思われる理由は、雲の背後から来る光が完全に遮蔽される領域があるためだ。
これは雲が光を散乱し吸収するために発生する現象である。
雲の不透明度が高ければ高いほど、明確な境界を持つように見える。
太陽のような恒星の大気でも、このような現象が起こる。
太陽を見た時に、内部深くで核融合が起こっているのを直接観察できない理由は、太陽の大気が全ての波長に対してある程度不透明だからである。
それでは我々が見る光球という場所はどの程度の深さを見ているのか？
定性的に言えば「内部から流れ出る光が大気によって吸収されてほぼ消える部分」を見ていると言える。
このように光が 散乱、吸収、反射されて除去される程度を光学的深さと呼ぶ。
2. 光学的深さの定性的な考え
光学的深さとは光が散乱され、吸収されて除去される光の量を意味する。
消光（光が除去される程度）が多い場合、光学的深さが深いと言い、消光の程度が少ない場合は光学的深さが浅いと言う。
例えば、上の図のように霧の中に人がいる。
この人がどの方向を見ても、均一に消光が起こると仮定しよう。
この時、近くを見ると消光があまり起こらないだろう。
遠くを見るほど消光が多くなるだろう。
近くを見る時は光学的深さが浅く、遠くを見る時は光学的深さが深い。
それでは、この人が見た時に、霧の中の空間の境界はどこだろうか？
霧の中で人が周囲を見る時、実際には霧の境界を明確に断定することはできない。
しかし、境界をおおよそ区分するならば、霧の外から来る光がすべて遮蔽されて見えない地点を境界と感じるだろう。
光学的深さによる光の消光率は指数関数的に起こるため、光学的深さが1の地点より遠くから来る光は「ほとんどない！」と言える。
したがって、この人が見る霧の中の空間の境界は光学的深さが概ね1になる所である。
これをもう少し定量的に見てみよう。
3. 光学的深さの定量的な考え
消光のみが起こる場合に光学的深さはどうなるか？
厚さdxのガスを通過する光のフラックス変化（強度変化）を求めてみる。
この時、ガスを通る光のフラックスの変化量は物質の不透明度、密度、そして通過した距離に比例する。
また、光の強度が弱くなるので変化量は負（マイナス）を持つ。
これを利用して式を立てると次のようになる。
これは以下のように整理できる。
この時、光学的深さは光が除去される程度なので、これを距離で微分して次のように定義する。
光学的深さを利用して0からτまで積分すると、以下の式が得られる。
上の数式を理解するために指数関数についてのグラフを描いてみよう。
y=exp(-x)グラフを描いた時、x=1になるとyの値はおおよそ0.368に減少する。
したがって、光学的深さの大きさが1より大きい場合と小さい場合で区別できる。
もし光学的深さが1より大きい場合は光学的に不透明で通過できる光子の数が明らかに減少し、光学的深さが1より小さい場合は光学的に透明で光子が通過する量が多い。
τ >1 : 光学的厚さが厚い（光学的深さが深い）。不透明で光子が通過しにくい。
τ <1 : 光学的厚さが薄い（光学的深さが浅い）。透明で通過する光子の数が多い。4. 結論 - 光学的深さとは何か？
1) 光学的深さとは光が除去された程度を指す。別の言い方をすれば不透明な程度を示したもの。
2) 光学的深さは物質の密度、不透明度、光が通過した距離に関係がある。
3) 光が除去された程度が大きい場合は光学的深さが深い、または光学的深さが厚いと言う。
4) 光が除去された程度が小さい場合は光学的深さが浅い、または光学的深さが薄いと言う。
今回は光学的深さについて学んだ。
光学的深さは単純に消光が起きる状態のみを仮定したため、伝達方程式よりは簡単である。
光学的深さは地球科学の教員採用試験を準備する人々には非常に身近な内容だ。
地球大気における角度による大気透明度、銀河面での方向による消光の程度を求める時に頻繁に使う。
しかし、星の大気では消光と発光が同時に起こる。
このような場合には伝達方程式を使用しなければならない。
次の記事では伝達方程式について学んでみよう。
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