近点角度 - 天体力学の基礎

天文学では楕円軌道上を動く惑星や天体を座標系で表示するために近点角度という方法を利用します。

ただし、この文章を読む前に楕円の幾何学的特性、ケプラーの法則、円運動の記述に関する基本的な概念を知っていることをお勧めします。

1. 近点角度

近点角度とは、天体の軌道近地点から現在の天体が離れている角距離（角度）を意味します。

近点角度は近地点から反時計回りに測定します。

しかし、楕円方程式があるにもかかわらず、なぜ近点角度というものを定義する理由があるのでしょうか？

上の図のように太陽を中心に公転する木星があると仮定してみましょう。

この時、木星の軌道運動に影響を与える最も重要な要素である太陽が楕円の一つの焦点にあるため、座標系の軸を楕円の一つの焦点に移動すると様々な要素を簡単に表現することができます。

例えば、近点角度、楕円の長半径(a)、離心率(e)を利用して木星の軌道速度を座標系で簡単に表現できます。

近点角度では、軌道の長半径(a)、短半径(b)、離心率(e)で全ての要素を表現します。

楕円の方程式を知っている人であれば長半径、短半径は馴染み深いですが、離心率(e)という概念は馴染みがないかもしれません。

離心率とは、各軌道の焦点距離を軌道長半径で割った値で、軌道がどれだけ歪んでいるかを意味します。

離心率は0（完全な円）から1（直線）の間の値を持ちます。

今回は太陽が惑星から離れている距離(r)を近点角度(θ)で表現しようと思います。

下の図のように二つの焦点のうち右の焦点に太陽があり、近地点から近点角度θの位置に惑星があると仮定します。

この時、下の図のように直角三角形を仮定することができます。

ここでピタゴラスの定理を利用します。

この式を順番に解きましょう。

ここでsin²θ + cos²θ = 1なので両辺のr²を除去できます。

そして両辺を4で割って整理してみましょう。

これをrについて整理すると以下のような式を得ます。

この式を利用すれば近点角度、長半径、離心率で太陽-惑星間の距離を求めることができます。

今日は太陽系力学を学ぶ際に最も基本となる近点角度について学びました。

この公式は太陽系だけでなく、全ての天体に適用できることを覚えておきましょう。

次回は近点角度を活用した惑星の速度、力学的エネルギーを求める文章を書いてみたいと思います。